Можно выделить три основных этапа организации исследовательской работы с учащимися:

-Формирование понятий;

-Обнаружение свойств. Построение выводов и следствий.

- Объяснение новых фактов на основе свойств.

Для того чтобы ученики освоили этапы исследовательской работы, использую следующую схему.
Учащиеся:

- выделяют и ставят проблему;

- выдвигают гипотезы и предлагают возможные решения;

- проверяют эти решения, исходя из данных;

- делают вывод в соответствии с результатами проверки;

- применяют вывод к новым данным;

- делают обобщения.

В зависимости от способностей учащихся их участие во всех звеньях исследовательской деятельности различно. Применительно к математике психолог В.А. Крутецкий определяет три уровня исследовательского обучения:

1) учитель сам ставит проблему, формулирует ее, указывает на пути её решения, а ученики должны решить эту проблему;

2) ученикам предлагается самостоятельно сформулировать и решить проблему, на которую учитель только указывает;

3) учащиеся должны найти проблему самостоятельно, а, найдя, сформулировать возможности и способы ее решения.

I этап. Формирование понятий.

Этот этап включает следующие виды учебной деятельности детей:

1) перечисляют объекты (предметы, явления, их признаки и свойства);

2) находят основу для объединения объектов, обладающих тем или иным сходством;

3) выявляют общие характеристики объектов, объединенных в группу;

4) подбирают категорию для обозначения группы;

5) соотносят все перечисленные ими объекты с выделенными категориями.

Для того чтобы вовлечь учащихся в исследовательскую работу, предлагается перечислить объекты (фигуры, их признаки свойства) и объединить в группы. Для этого ставятся соответствующие вопросы. Так, вопрос "Что вы увидели? Заметили?" побуждает детей к перечислению данных объектов, вопрос "Какие предметы (фигуры и т.д.) связаны друг с другом?" побуждает детей к объединению данных в группы. Заметим, что эти вопросы носят открытый характер, т.е. не предполагают какого-либо единственного "правильного" ответа.
Дети не стремятся "угадать, что у учителя на уме", они ведут активный интеллектуальный поиск.

Тема "Виды треугольников"

Предлагается привести примеры треугольников. Дети дают чрезвычайно большой перечень самых разнообразных треугольников.

Затем учитель спрашивает: "Какие из перечисленных треугольников можно объединить в группы? По какому признаку?", побуждая детей к объединению данных в группы. Далее уместно задать вопрос: "Как бы вы назвали эти группы?".

В результате обсуждения создаётся следующая таблица:

Тема "График линейной функции".

Задание: рассмотреть расположение графика линейной функции y=kx+b в координатной плоскости в зависимости от коэффициентов k и b.

Дети строят различные графики. Затем объединяют их в группы и заполняют следующую таблицу:

Однако, понятно, что перечни, как и объединение в группы, могут быть чрезвычайно громоздкими. Активность детей в таком случае необходимо направлять в желательное русло, но делать это нужно не чрезмерно жестким способом. В таких случаях учитель обычно прибегает к фокусирующему (направляющему) вопросу. Например, "Какие изменения в расположении графика линейной функции происходят с изменением коэффициента k? (с изменением коэффициента b?)".

Работа в таком режиме позволяет ученикам научиться выделять характеристический признак, на основании которого проводить классификацию и определять выделенную фигуру.

II этап. Обнаружение свойств. Построение выводов и следствий.

Осуществление этого этапа предполагает следующие основные шаги:

1) рассмотрение одних и тех же (или сходных) выбранных примеров под углом зрения одних и тех же вопросов, выдвижение гипотез;

2) объяснение получаемых данных, логическое доказательство;

3) построение обобщений, выводов относительно сходных черт и различий.

После того, как класс исследуемых объектов определен, ставится задача найти, "открыть" другие общие свойства рассматриваемых объектов. При рассмотрении свойств изучаемых объектов ученики ставятся в позицию "открывателей свойств", побуждаются высказывать предположения о наличии тех или иных свойств.

Обычно этап открывается вводным вопросом учителя, направленным на припоминание уже известных данных. Например, "что вы узнали о равнобедренном треугольнике?". Все сведения сводятся воедино; всё, что может быть представлено в наглядном виде (рисунки, таблицы), выставляется на всеобщее обозрение. Учитель побуждает детей к высказываниям, но ни в коем случае не торопит их; все высказывания детей принимаются в том виде, как они высказаны, и учитель не спешит сразу же перевести их в ту форму, которая кажется ему более приемлемой. Затем следуют интерпретирующие вопросы: "Что будет, если…", "Что произошло, когда…", "Может ли быть…". Например: "Может ли быть, чтобы у треугольника высота совпала только с медианой, только с биссектрисой?", "Что будет, если диагональ параллелограмма является биссектрисой? Что будет, если диагонали параллелограмма перпендикулярны?".

Тема "Равнобедренный треугольник"

Вот одна из гипотез, которая была сформулирована учеником на уроке геометрии в 7 классе во время изучения темы "Свойства равнобедренного треугольника": если провести биссектрисы из углов при основании равнобедренного треугольника, то они будут равны. Выдвинув предположение о равенстве биссектрис, ребята начинают искать доказательства.

Одни рассматривают треугольники АВN и СВМ, так как они содержат отрезки АN и СМ.

Но при поиске доказательства этого утверждения у ребят возник другой вариант.

Они рассматривали треугольники АNС и СМА. После этого возникла другая гипотеза: а будут ли равны высоты и медианы, проведённые из углов при основании равнобедренного треугольника?

Тема "Площадь трапеции"

Предлагаю решить задачу: Найти площадь трапеции с основаниями 6см и 12см, и один из углов при основании равен 30?.

Ребята ещё не знают формулы площади трапеции, поэтому они ведут активный поиск решения. Причём предложили различные способы решения данной задачи. Одни, применили способ достраивания трапеции до известной фигуры (прямоугольника или параллелограмма), другие - способ перекраивания трапеции в известную фигуру (прямоугольник или треугольник), а третьи - способ деления трапеции на известные фигуры (прямоугольник и два треугольника, параллелограмм и треугольник, два треугольника). Далее делю детей на группы (групп создаю столько, сколько предложений). Каждой группе предлагаю вывести формулу площади трапеции одним из предложенных способов.

Тема "Многоугольники".

Следует доказать теорему о сумме внутренних углов выпуклого n-угольника. Прямоугольник, квадрат являются частными случаями выпуклого n-угольника, и сумму углов их найти нетрудно с помощью вычислений. Далее рассматриваем произвольный четырехугольник. Дети видят, что, проведя диагональ, получаем два треугольника. Сумма углов треугольника ребятам известна. Так, появляется предположение, что сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360?. Далее предлагается ребятам доказать теорему о сумме внутренних углов произвольного n-угольника несколькими способами по готовым чертежам, работая в группах.

При выдвижении предположений учениками могут быть высказаны предположения явно неверные или выделены свойства, которые не являются общими. Эти предположения остаются для рассмотрения как рабочие гипотезы.

Тема "Свойства квадратного корня"

При изучении данной темы возникает гипотеза: sqrt(a+b)=sqrt(a)+sqrt(b), если a>=0, b>=0?" и sqrt(a-b)=sqrt(a)-sqrt(b), если a>=0, b>=0 и a>=b? Далее проводится проверка наличия или отсутствия этого свойства при рассмотрении дополнительных случаев. Ребята проверяют данную гипотезу на конкретных примерах и делают вывод о том, что данные равенства выполняются не при всех значениях а и b. А затем решили доказать утверждение, что данные равенства не верны, используя определение квадратного корня.

III этап. Объяснение новых фактов на основе свойств.

Данный этап основан на побуждении детей к объяснению новых явлений:

1) предсказание последствий,

2) объяснение незнакомых явлений,

3) построение новых предсказаний и гипотез,

4) проверка новых предсказаний и гипотез.

Вводный побуждающий вопрос учителя может носить отвлечённый абстрактно-теоретический характер: "Что изменится, если…", "Что произошло бы, если…". Например, при работе по определению признаков фигуры можно задать такой вопрос: "Что произойдёт, если условие и утверждение поменять местами?". Так, ученики формулируют утверждение, обратное свойству. На заключительной фазе стратегии учащиеся проверяют выдвинутые ими предположения, гипотезы, выводы, либо указывают условия, при которых можно произвести проверку.

При такой работе ученики могут сформулировать признаки, которые в школьных учебниках не формулируются и не доказываются. Например, по свойству высоты, медианы и биссектрисы равнобедренного треугольника формулируется признак: "Если в треугольнике биссектриса и высота совпадают, то этот треугольник равнобедренный", а у параллелограмма "появляются" свои новые признаки: "Если противоположные углы четырехугольника равны, то этот четырехугольник является параллелограммом".